Enunciado da Prova

Questão Única: Observe atentamente o sistema físico representado na figura. Considere que as partículas indicadas na figura têm massas m₁, m₂ e m₃, respectivamente. Sabe-se que a distância entre as duas polias ideais é L, sabe-se também que os fios são inextensíveis e têm comprimentos l₁ e l₂. A aceleração local da gravidade é g. Pede-se:

a)      O que são graus de liberdade? Com base na sua definição, diga quantos graus de liberdade tem este problema.(0,8)

b)      Verifique que coordenadas y₁, x₂ e y₃ (indicadas na figura) não são variáveis independentes. Nestas condições, quantas são as equações de vínculo que devemos escrever para termos apenas coordenadas generalizadas independentes? Justifique sua resposta. (0,8)

c)      Escreva as equações de vínculo e classifique-as.(0,9)

d)     Obtenha as acelerações de cada massa através do Princípio de D´ALEMBERT.(2,0)

e)      Escreva a função de Lagrange, L, em função das coordenadas y₁, x₂ e y₃ suas derivadas e do tempo.(1,0)

f)       Utilizando as equações de vínculo (item c), re-escreva a função de Lagrange em termos de coordenadas independentes, suas derivadas e do tempo. Obtenha as acelerações de cada massa pela aplicação da Equação de Euler-Lagrange.(2,0)

g)      Os vínculos podem ser escritos em um formato que justifique a aplicação do método dos multiplicadores de Lagrange? Em caso afirmativo, faça-o. Determine as acelerações das massas pelo método de Multiplicadores de Lagrange, descubra o valor dos multiplicadores e interprete-os fisicamente.(2,5).

Solução da Prova - Parte Inicial

Solução da Prova - Parte Intermediária

6a Lista de Exercicios

6ª Lista – FF – 207  -  Prof. Arnaldo Dal Pino

1) Resolva o problema esquematizado na figura apresentada no fim desta postagem usando:

a)      Princípio de D’Alembert

b)      Equações de Euler-Lagrange

c)      Multiplicadores de Lagrange

2) Suponha que seja conhecido experimentalmente que uma partícula caia uma dada distância y₀ num tempo t0 = (2.y0 /g) elevado a (1/2), mas que o tempo para cair distâncias diferentes de y₀ não é conhecido. Suponha ainda que a Lagrangeana para o problema é conhecida, mas que ao invés de resolver a equação do movimento para y como função de t é assumido que a equacao horaria tem a forma funcional y = at + bt². Se as constantes a e b são ajustadas para que o tempo para cair y₀ seja corretamente dado por t₀, mostre diretamente que a integral de acao é um extremo para valores reais dos coeficientes somente quando a = 0 e b = g/2.

3) Uma partícula pesada é colocada no topo de um aro vertical. Calcule a reação do aro na partícula através dos multiplicadores de Lagrange e  equações de Lagrange. Encontre a altura para qual a partícula descola.

5a Lista de Exercícios

PROBLEMA DE MECÂNICA !!

Hamilton's principle - part 2